导数与连续性的关系
在数学分析中，函数的可导性和连续性之间存在着密切联系。函数的可导性比连续性更强的性质，也就是说，任何可导的函数也一定是一个连续的函数。
可导一定连续的证明
要证明这个定理，需要使用极限的定义。假设函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 可导。根据导数的定义，对于任意 \(h \ne 0\)，有：
$$\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = f'(x_0)$$
现在，令 \(h \to 0\)，则上式变为：
$$\lim_{h \to 0} [f(x_0 + h) - f(x_0)] = \lim_{h \to 0} h \cdot f'(x_0) = 0$$
因此，对于任意 \(ε > 0\)，存在一个 \(δ > 0\)，使得当 \(0 < |h| < δ\) 时，满足：
$$|f(x_0 + h) - f(x_0)| = |[f(x_0 + h) - f(x_0)]/h \cdot h| \le |h \cdot f'(x_0)| < ε$$
这表明 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 是连续的。
反例：连续不意味着可导
需要注意的是，反命题不成立，即连续的不一定可导。一个常见的反例是魏尔斯特拉斯函数 \(W(x)\)，它在整个实数范围内连续，但处处不可导。
导数与连续性的应用
导数和连续性在数学和应用中都有广泛的应用，例如：
用导数求解极值和拐点
用连续性证明函数极限的存在性
用导数和连续性分析函数的单调性和凹凸性
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