点到平面的距离在几何计算中有着广泛的应用，从工程测量到计算机图形学。本文将深入探讨点到平面的距离公式，帮助您理解其原理和应用。
点到平面的距离公式
点到平面的距离公式如下：
```
d = |a x + b y + c z + d| / sqrt(a^2 + b^2 + c^2)
```
其中：
`(x, y, z)` 是点的坐标
`(a, b, c)` 是平面法向向量的坐标
`d` 是平面到原点的距离
`| |` 表示绝对值符号
`sqrt()` 表示平方根函数
公式推导
该公式的推导建立在向量几何的基础上。设 `P` 为点，`Q` 为平面上的任意一点。向量 `PQ` 垂直于平面，其长度即为点到平面的距离。同时，平面法向向量 `n = (a, b, c)` 垂直于平面。根据点积公式，`PQ · n = 0`。
展开点积得到：
```
a (x - x0) + b (y - y0) + c (z - z0) = 0
```
其中 `(x0, y0, z0)` 是平面上一点的坐标。将此方程化为平面方程：
```
a x + b y + c z + d = 0
```
其中 `d = -a x0 - b y0 - c z0`。
应用
点到平面的距离公式在以下领域有着广泛的应用：
工程测量： 计算建筑物或道路的坡度和高度
计算机图形学： 用于剔除、投影和碰撞检测
机器学习： 用于分类、聚类和异常检测
物理学： 用于计算反射和透射的路径
拓展：平面与平面的距离
除了点到平面的距离外，平面与平面的距离也是几何计算中的一个常见问题。平面与平面的距离公式如下：
```
d = |(p1 - p2) · n|
```
其中：
`p1` 和 `p2` 是平面上任意两点
`n` 是两平面法向向量的叉积
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